高綱1882

江蘇省高等教育自學考試大綱

27961  高等數(shù)學

南京工程學院編（2021年）

江蘇省高等教育自學考試委員會辦公室

Ⅰ  課程的性質及其設置的目的和要求

一、課程的性質、目的和任務：

“高等數(shù)學”工科各專業(yè)自學考試計劃中的一門重要的基礎理論課程，是學好后續(xù)課程的必修課。它作為工程教育中的一個重要內(nèi)容，目的在于培養(yǎng)工程技術人員必備的基本數(shù)學素質。通過本課程的學習，使學生理解微積分中極限、導數(shù)、積分等基本概念；掌握基本的運算技巧；使學生能用所學的知識去解決各種領域中的一些實際問題；訓練學生數(shù)學推理的嚴密性，使學生具有一定的數(shù)學修養(yǎng)和對實際問題具有抽象、歸納、推廣的能力，能用數(shù)學的語言描述各種概念和現(xiàn)象，能理解其它學科中所用的數(shù)學理論和方法；培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣，幫助學生養(yǎng)成自學數(shù)學教材和其它數(shù)學知識的能力，為以后學習其它學科打下良好的基礎。

二、課程的基本要求與重點

本課程的基本要求為:

1. 獲得向量代數(shù)和空間解析幾何的初步知識。

2. 獲得一元函數(shù)微積分學的系統(tǒng)的基本知識、基本理論和基本方法。

本課程的重點是：一元函數(shù)的導數(shù)和積分的概念、計算及其應用。

在學習過程中，要求考生在通讀教材、理解和掌握所學基本原理知識及基本方法的基礎上，結合習題進行練習，提高分析問題和解決問題的能力。

Ⅱ  考核目標

本課程自學考試大綱在考核目標中，按照識記、領會、簡單應用和綜合應用四個層次規(guī)定其應達到的能力層次要求。四個能力層次是遞升的關系，后者必須建立在前者的基礎上。各能力層次的含義是：

識記（Ⅰ）：要求考生能夠識別和記憶本大綱中規(guī)定的有關知識點的主要內(nèi)容（如定義、概念、公式、原理、重要結論、方法及特征、特點等），并能夠根據(jù)考核的不同要求，做出正確的表述、選擇和判斷。

領會（Ⅱ）：要求考生能夠領悟和理解本大綱中規(guī)定的有關知識點的內(nèi)涵及外延，熟悉其內(nèi)容要點和它們之間的區(qū)別與聯(lián)系，并能正確地解釋說明和論述。能根據(jù)考核的不同要求對有關問題進行邏輯推理和論證，做出正確的解釋、敘述和說明。

簡單應用（Ⅲ）：要求考生能夠運用本大綱中規(guī)定的部分知識點，解決簡單的計算、證明或應用問題。

綜合應用（Ⅳ）：要求考生能夠運用本大綱中規(guī)定的多個知識點，分析、計算或推導稍復雜一些的應用問題。

Ⅲ  課程內(nèi)容與考核要求

第一章  空間解析幾何 向量代數(shù)

一、學習目的與要求

空間解析幾何是在平面解析幾何的基礎上發(fā)展起來的，主要是在空間直角坐標系中研究數(shù)和形結合的基本問題；向量代數(shù)是以向量為工具，用代數(shù)方法研究幾何問題，應深刻理解向量的基本概念及幾何意義。

通過本章的學習，使學生了解曲面方程和空間曲線方程的概念，理解向量的概念及其表示；掌握向量的運算（線性運算、數(shù)量積、向量積）；了解兩個向量垂直、平行的條件；掌握平面方程及其求法。

二、課程內(nèi)容

 曲面方程和空間曲線方程的概念；向量的概念及其運算；平面方程的概念及其求法。

三、考核的知識點

1. 常見曲面、曲線方程

2. 向量的概念、向量的線性運算

3. 平面方程

四、考核要求

1. 識記

曲面方程和空間曲線方程的概念

2．領會

向量的概念及其運算

3. 簡單應用

平面方程及其求法

五、本章重點和難點

重點：向量的運算、平面方程及其求法

難點：向量的向量積及其運算律

第二章　函數(shù) 極限 連續(xù)

一、學習目的和要求

函數(shù)是高等數(shù)學中最基本的概念之一，它從數(shù)學上反映各種實際現(xiàn)象中量與量之間的依賴關系，是微積分的主要研究對象；極限理論是微積分學的基礎，微積分中的基本概念都是借助極限方法描述的；連續(xù)函數(shù)是使用最為廣泛的函數(shù)，所以學好本章為以后的學習奠定必要的基礎。

通過本章的學習，使學生理解一元函數(shù)的定義及函數(shù)與圖形之間的關系；了解函數(shù)的幾種常用表示法；理解函數(shù)的反函數(shù)及它們的圖形之間的關系；熟悉基本初等函數(shù)及其圖形的性態(tài)；掌握函數(shù)的復合和分解；知道什么是初等函數(shù)；理解函數(shù)的幾種簡單形態(tài)；能對比較簡單的實際問題建立其中蘊含的函數(shù)關系；理解極限和無窮小量的概念，知道它們之間的關系；熟悉掌握極限的運算法則；掌握無窮小量的基本性質；清楚無窮大量的概念及其與無窮小量的關系；能熟悉運用兩個重要極限；理解無窮小量的比較和高階窮小量的概念；理解函數(shù)的連續(xù)性和間斷點；知道初等函數(shù)的連續(xù)性；清楚閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質；了解二元函數(shù)的概念。

二、課程內(nèi)容

一元函數(shù)、極限、函數(shù)的連續(xù)性、二元函數(shù)的基本概念；函數(shù)的簡單形態(tài)；數(shù)列的極限；函數(shù)的極限及運算法則；兩個重要極限；無窮小量的比較；閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質。

三、考核的知識點

1. 一元函數(shù)的定義及其圖形

2. 函數(shù)的表示法

3. 函數(shù)的簡單形態(tài)

4. 函數(shù)的復合與分解

5. 初等函數(shù).

6. 簡單函數(shù)關系的建立.

7. 數(shù)列及其極限.

9. 函數(shù)極限及其運算法則和兩個重要極限.

10.無窮小量及其性質和無窮大量.

11.無窮小量的比較.

12.函數(shù)的連續(xù)性概念和連續(xù)函數(shù)的運算.

13.函數(shù)的間斷點.

14.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質.

四、考核要求

1. 識記

函數(shù)的表示法

2．領會

2.1一元函數(shù)的定義及其圖形

2.2數(shù)列及其極限

2.3閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質

3. 簡單應用

3.1函數(shù)的幾種簡單形態(tài)

3.2簡單函數(shù)關系的建立

3.3初等函數(shù)的構成

3.4無窮小量及其性質和無窮小量的比較

3.5函數(shù)的連續(xù)性和連續(xù)函數(shù)的運算

4. 綜合應用

4.1函數(shù)的復合運算的含義及可復合的條件，復合函數(shù)的定義域，復合函數(shù)的分解

4.2極限的運算法則和兩個重要極限

五、本章重點和難點

重點：極限和無窮小量的概念，極限的運算法則，兩個重要極限及其應用，函數(shù)的連續(xù)性

難點：極限概念

第三章　微分學

一、學習目的和要求

函數(shù)的導數(shù)和微分是由于解決實際問題（如求曲線的切線和運動的速度等）的需要而建立起來的，是微分學中最重要的概念，這兩個概念密切相關，它們在科學和工程技術中有極為廣泛的應用。

通過本章的學習，使學生理解導數(shù)和微分的定義，清楚它們之間的關系；知道導數(shù)的幾何意義和作為變化率的實際意義；知道平面曲線的切線方程和法線方程的求法；理解函數(shù)可導與連續(xù)之間的關系；熟練掌握函數(shù)求導的各種法則，特別是復合函數(shù)的求導法則；熟記基本初等函數(shù)的求導公式并能熟練地運用各種求導法則計算函數(shù)的導數(shù)；清楚高階導數(shù)的定義；熟練掌握微分的基本公式和運算法則。知道微分中值定理；熟練掌握求各種未定式的極限的洛必達法則；會用導數(shù)的符號判定函數(shù)的單調性；理解函數(shù)的極值概念并掌握其求法；清楚函數(shù)的最值及其求法并能解決簡單的應用問題；了解曲線的凹凸性和拐點的概念，會用函數(shù)的二階導數(shù)判定曲線的凹凸性和計算拐點的坐標，會求曲線的水平和鉛直漸近線。

二、課程內(nèi)容

導數(shù)、微分的概念；導數(shù)和微分的求法；導數(shù)的應用。

三、考核的知識點

1. 導數(shù)的定義及其幾何意義

2. 平面曲線的切線和法線

3. 函數(shù)可導與連續(xù)的關系

4. 導數(shù)的四則運算法則

5. 復合函數(shù)微分法

6. 參數(shù)方程所表示的函數(shù)的微分法

7. 隱函數(shù)微分法

9. 高階導數(shù)

10.多元函數(shù)的偏導數(shù)

11.函數(shù)單調性的判定和極值與最值的求法

12.曲線的凹凸性判斷和拐點的求法

13.曲線的漸近線

14.未定型的極限 洛必達法則

四、考核要求

1. 識記

多元函數(shù)的偏導數(shù)及其應用

2．領會

2.1導數(shù)的定義及其幾何意義和實際意義

2.2函數(shù)可導與連續(xù)的關系

2.3高階導數(shù)

2.4曲線的漸近線

3. 簡單應用

3.1平面曲線的切線和法線

3.2參數(shù)方程所表示的函數(shù)的微分法

3.3 隱函數(shù)微分法

3.4函數(shù)單調性的判定

3.5曲線的凹凸性和拐點

4. 綜合應用

4.1可導函數(shù)的和、差、積、商的求導法則　

4.2復合函數(shù)微分法

4.3洛必達法則

4.4函數(shù)的極值及其求法

4.5函數(shù)的最值及其應用

五、本章重點和難點

重點：導數(shù)和微分的定義及其相互關系；導數(shù)的幾何意義和作為變化率的實際意義，函數(shù)的微分法；洛必達法則的應用；函數(shù)單調性的判定；函數(shù)的極值、最值的求法和實際應用

難點：復合函數(shù)微分法，函數(shù)最值的應用

第四章  積分學

一、學習目的和要求

一元函數(shù)積分學是微積分學的號一個重要組成部分，不定積分可看成是微分運算的逆運算，而定積分則源于曲邊圖形的面積計算和已知物體運動的速度求行走的路程等實際問題，與微分學一樣，積分學也有廣泛的應用。

通過本章的學習，使學生理解原函數(shù)和不定積分的概念，清楚微分運算和不定積分運算之間的關系；理解定積分的概念及其幾何意義，熟悉不定積分和定積分的基本性質；了解定積分的積分中值定理；理解變上限積分及其求導公式；掌握牛頓—萊布尼茨公式；熟記基本積分公式；熟練掌握不定積分和定積分的變量置換法和分部積分法，并能熟練地運用它們計算不定積分和定積分；清楚無窮區(qū)間和無界函數(shù)反常積分的定義，在比較簡單的情況下會依據(jù)定義判別它是否收斂并在收斂時求出其值；會用定積分解決較簡單的幾何問題和實際問題。

二、課程內(nèi)容

不定積分和定積分的概念，不定積分和定積分的計算，定積分的應用。

三、考核的知識點

1.原函數(shù)和不定積分的概念及不定積分的基本性質

2.基本積分公式

3.不定積分的變量置換積分法

4.不定積分的分部積分法

5.定積分概念及其幾何意義

6.定積分的基本性質和中值定理

7.變上限積分與牛頓—萊布尼茨公式

8.定積分的變量置換積分法和分部積分法

9.反常積分

10.定積分的幾何應用

四、考核要求

1. 識記

積分中值定理

2．領會

2.1原函數(shù)和不定積分概念及不定積分的基本性質

2.2定積分概念及其幾何意義

2.3定積分的基本性質

3. 簡單應用

3.1不定積分的變量置換積分法和分部積分法

3.2定積分的變量置換積分法和分部積分法

3.3 反常積分

4. 綜合應用

4.1變上限積分與牛頓—萊布尼茨公式　

4.2定積分的幾何應用

五、本章重點和難點

重點：不定積分和定積分的概念及其計算，變上限積分與牛頓—萊布尼茨公式，定積分的應用

難點：求不定積分，定積分的應用

第五章   微分方程

一、學習目的和要求

微分方程的理論和方法幾乎是與微積分同時發(fā)展起來的，具有廣泛的實際應用。

通過本章的學習，使學生了解微分方程及其階、解、通解、初值條件和特解等概念；掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法；理解線性微分方程解的性質及解的結構，了解二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法。

二、課程內(nèi)容

微分方程的概念，可分離變量的微分方程及一階線性微分方程的解法，二階線性微分方程解的結構及二階線性常系數(shù)齊次微分方程的解法。

三、考核的知識點

1.微分方程的基本概念

2.可分離變量的微分方程

3.一階線性微分方程

4.二階常系數(shù)齊次線性微分方程

四、考核要求

1. 識記

高階線性常系數(shù)微分方程

2．領會

2.1微分方程的基本概念

2.2可分離變量的微分方程的解法

2.3一階線性微分方程的解法

五、本章重點和難點

重點：一階線性微分方程及其解法，二階線性常系數(shù)齊次微分方程及其解法

難點：二階線性常系數(shù)齊次微分方程及其解法

第六章   無窮級數(shù)

一、學習目的和要求

無窮級數(shù)是高等數(shù)學課程的重要內(nèi)容，它以極限理論為基礎，是研究函數(shù)的性質和進行數(shù)值計算方面的重要工具。

通過本章的學習，使學生理解常數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念，掌握級數(shù)的基本性質及收斂的必要條件；掌握幾何級數(shù)收斂與發(fā)散的條件；掌握正項級數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法；掌握交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法；了解任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關系；了解函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念；理解冪級數(shù)收斂半徑的概念、并掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法；了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項求導和逐項積分），會求一些冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)。

二、課程內(nèi)容

常數(shù)項級數(shù)收斂與發(fā)散的概念及其性質，正項級數(shù)收斂性，任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂，冪級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）和收斂域、冪級數(shù)的和函數(shù)，函數(shù)展開為冪級數(shù)。

三、考核的知識點

1.常數(shù)項級數(shù)收斂與發(fā)散的概念及其性質

2.正項級數(shù)收斂性的判別法

3.任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂

4.冪級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）和收斂域、冪級數(shù)的和函數(shù)

5.函數(shù)展開為冪級數(shù)

四、考核要求

1. 識記

冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質

2．領會

2.1常數(shù)數(shù)項級數(shù)的基本概念

2.2冪級數(shù)

3. 簡單應用

3.1正項級數(shù)的收斂性

五、本章重點和難點

重點：判斷數(shù)項級數(shù)的斂散性、冪級數(shù)求和、函數(shù)展開為冪級數(shù)

難點：冪級數(shù)求和，函數(shù)展開為冪級數(shù)

Ⅳ   關于大綱的說明與考核實施要求

一、自學考試大綱的目的和作用

《高等數(shù)學（工專）》課程自學考試大綱是根據(jù)工科各專業(yè)自學考試計劃的要求，結合自學考試的特點而確定，其目的是對個人自學、社會助學和課程考試命題進行指導和規(guī)定。

本課程自學考試大綱明確了課程學習的內(nèi)容以及深度、廣度，規(guī)定了課程自學考試的范圍和標準。 因此，它是編寫自學考試教材和輔導書的依據(jù)，是社會助學組織進行自學輔導的依據(jù)，是自學者學習教材、掌握課程內(nèi)容知識范圍和程度的依據(jù)，也是進行自學考試命題的依據(jù)。

在自學本課程之前應先通讀大綱，了解課程的內(nèi)容、考核知識點和考核要求. 明確考核目標，使自學應考者有的放矢地、系統(tǒng)地學習教材；使輔導教師更好地組織教學內(nèi)容；使命題教師能夠更加明確命題范圍，更準確地安排試題的知識能力層次和難易程度. 本大綱要求學習和掌握的知識點都可作為考核的內(nèi)容。

二、課程自學考試大綱與教材的關系

課程自學考試大綱是進行學習和考核的依據(jù)，教材是學習掌握課程知識的基本內(nèi)容與范圍，教材的內(nèi)容是大綱所規(guī)定的課程知識和內(nèi)容的擴展。課程內(nèi)容在教材中可以體現(xiàn)一定的深度或難度，本大綱中對考核的要求是按照本專業(yè)的培養(yǎng)目標，以及對考生知識結構要求和專業(yè)考試計劃來確定的，深度或難度較適當。

大綱與教材所體現(xiàn)的課程內(nèi)容應基本一致，本大綱的課程內(nèi)容和考核知識點是與所選教材一致的.所選教材里的部分內(nèi)容，本大綱不作考核要求。（注：其中的內(nèi)容與大綱要求不一致的地方，以大綱規(guī)定為準。）

三、關于自學教材

自學教材：《高等數(shù)學》（簡明版）第6版，盛祥耀主編，高等教育出版社，2021年版。

四、關于自學要求和自學方法的指導

本大綱的課程基本要求是依據(jù)專業(yè)考試計劃和專業(yè)培養(yǎng)目標而確定的。課程基本要求還明確了課程的基本內(nèi)容，以及對基本內(nèi)容掌握的程度?；疽笾械闹R點構成了課程內(nèi)容的主體部分，因此，課程基本內(nèi)容掌握程度、課程考核知識點是高等教育自學考試考核的主要內(nèi)容。

為有效地指導個人自學和社會助學，本大綱已指明了課程的重點和難點，在章節(jié)的基本要求中一般也指明了章節(jié)內(nèi)容的重點和難點。

本課程共7學分，均為理論課程。

在自學過程中應注意以下幾點：

1．根據(jù)考核要求中的四個能力層次，在全面系統(tǒng)學習的基礎上掌握重點概念和重點問題，注意各章內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系。

2．本課程的自學考試大綱是自學本課程的主要依據(jù)，在自學本課程前應先通讀大綱，了解課程的要求，獲得課程完整的概貌.在開始自學某一章時，先閱讀大綱，了解該章的課程內(nèi)容，考核知識點和考核要求，再依據(jù)要求進行學習。

3．閱讀教材時，要求吃透每個考核知識點.對基本概念要做到深刻理解，對基本原理要弄清弄懂，對基本方法要熟練掌握。

4．重視每章的習題，多做習題可以幫助考生更好地達到自考大綱的要求，并可以檢查考生對知識的掌握程度。

5．考生在自學時要注意基本能力的培養(yǎng)，即理解知識的能力、分析問題的能力、系統(tǒng)分析和綜合的能力等。

五、對社會助學的要求

1．社會助學指導教師應熟悉本大綱所要求的內(nèi)容、考核知識點和考核要求，輔導內(nèi)容必須以本大綱為依據(jù)，切實作好對自學應考者的輔導，防止自學中的各種偏向，把握社會助學的正確導向。

2．注意自學考試的特點，命題將覆蓋各章，特別是本大綱規(guī)定的重點，不可隨意增刪和圈定重點以免導向失誤.本大綱課程內(nèi)容和考核知識點不作要求的內(nèi)容則不考。

3．注意培養(yǎng)考生的自學能力，以及分析、設計及應用的能力，努力引導自學應考者將識記、領會與應用聯(lián)系起來，把知識和理論轉化為能力，著重培養(yǎng)和提高自學應考者的分析問題和解決問題的能力。

六、應考指導

1.如何學習.很好的學習計劃和組織是成功的法寶.在接受培訓學習的過程中，一定要跟緊課程并完成作業(yè).為了在考試中作出滿意的回答，必須對所學課程內(nèi)容有很好的理解。閱讀課本時要做課程筆記，如有需要重點注意的內(nèi)容，可以用彩筆來標注，如：紅色代表重點，綠色代表還未理解需要深入研究的知識點，黃色代表可以運用在實際工程之中等。

2.如何考試.首先要認真審題，抓住重點回答問題，避免答非所問。其次，卷面要書寫工整，保持卷面整潔，避免因卷面字跡不清導致閱卷教師看不清而失分。

3.如何處理緊張情緒.正確處理對失敗的懼怕，要正面思考，考前要調整好心態(tài)，要對自己充滿信心。進入考場后做深呼吸放松，緩解緊張情緒，保持冷靜。

七、對考核內(nèi)容的說明

本課程大綱中要求考生學習和掌握的知識點都作為考核的內(nèi)容。課程中各章內(nèi)容均由若干知識點組成，在自學考試中即為考核知識點。由于各知識點在課程中的地位、作用以及知識自身的特點不同，自學考試將對各知識點分別按四個認知（或叫能力）層次確定其考核要求。

八、關于考試命題的若干規(guī)定

1.考試采用閉卷方式，考試時間為120分鐘。試卷一律用黑色簽字筆書寫，作圖可用鉛筆和直尺。

2.本大綱各章所規(guī)定的基本要求、知識點及知識點下的知識細目，都屬于考核的內(nèi)容。

3.命題不應有超出大綱中考核知識點范圍的題目，考核目標不高于大綱中所規(guī)定的相應的最高能力層次要求。命題應著重考核自學者對基本概念、基本知識和基本理論是否了解或掌握，對基本方法是否會用或熟練。

4.本課程在試卷中對不同能力層次要求的分數(shù)比例大致為：識記占20%，領會占35%，簡單應用占35%，綜合應用占10%。

5.要合理安排試題的難易程度，試題的難度可分為：易、較易、較難和難四個等級.每份試卷中不同難度試題的分數(shù)比例一般為：20:45:25:10。必須注意試題的難易程度與能力層次有一定的聯(lián)系，但二者不是等同的概念.在各個能力層次中對于不同的考生都存在著不同的難度.在大綱中已特別強調這個問題，考生切勿混淆。

6.本課程考試命題的主要題型一般有選擇題、填空題、簡單計算題、計算題綜合題等題型。

附錄  題型舉例

一、單項選擇題

1． 設，，則f ``=

A．-2 B．

C．0 D．

2. 下列反常積分收斂的是

A． B．

C． D．

二、填空題

3．函數(shù)y=的定義域是   ▲   .

4．設y=ln sin x，則y″=   ▲   .

三、簡單計算題

5．求不定積分

四、計算題

6．設方程y2-2xy+9=0確定了隱函數(shù)y=y（x），求

五、綜合題

7．設平面圖形由y=ex，y=e，x=0所圍成，求此平面圖形的面積.